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如图正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.

(1)求证:点F是CD边的中点;
(2)求证:∠MBC=2∠ABE.

答案(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析.

解析试题分析:(1)由正方形得到AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD,根据AF⊥BE,求出∠AEB=∠AFD,推出△BAE≌△ADF,即可证出点F是CD边的中点;
(2)延长AD到G使BM=MG,得到DG=BC=DC,证△FDG≌△FCB,求出B,F,G共线,再证△ABE≌△CBF,得到∠ABE=∠CBF,根据三角形的外角性质即可求出结论.
试题解析:(1)∵正方形ABCD,∴AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD,
∵AF⊥BE,∴∠AOE=90°,∴∠EAF+∠AEB=90°,∠EAF+∠BAF=90°,∴∠AEB=∠BAF,
∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,∴∠AEB=∠AFD,
∵∠BAD=∠D,AB=AD,∴△BAE≌△ADF,∴AE=DF,
∵E为AD边上的中点,∴点F是CD边的中点;
(2)延长AD到G.使MG=MB.连接FG,FB,
∵BM=DM+CD,∴DG=DC=BC,
∵∠GDF=∠C=90°,DF=CF,∴△FDG≌△FCB(SAS),∴∠DFG=∠CFB,∴B,F,G共线,
∵E为AD边上的中点,点F是CD边的中点,AD=CD,∴AE=CF,
∵AB=BC,∠C=∠BAD=90°,AE=CF,∴△ABE≌△CBF,∴∠ABE=∠CBF,
∵AG∥BC,∴∠AGB=∠CBF=∠ABE,∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE,
∴∠MBC=2∠ABE.

考点:1.正方形的性质;2.三角形的外角性质;3.全等三角形的判定与性质.