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在平面直角坐标系中,己知O为坐标原点,点A(3,0),B(0.4),以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得△ACD.记旋转角为α.∠ABO为β.

(I )如图①,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;
(II)如图②,当旋转后满足BC∥x轴时,求α与β之间的数量关系:
(III)当旋转后满足∠AOD=β时,求直线CD的解析式(直接写出结果即可).

答案(1)()   (2)α=2β   (3)y=x﹣4

解析试题分析:(1)∵点A(3,0),B(0,4),得OA=3,OB=4,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB==5,
根据题意,有DA=OA=3.
如图①,过点D作DM⊥x轴于点M,
则MD∥OB,
∴△ADM∽△ABO.有

∴OM=

∴点D的坐标为().
(2)如图②,由已知,得∠CAB=α,AC=AB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴在△ABC中,
∴α=180°﹣2∠ABC,
∵BC∥x轴,得∠OBC=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β,
∴α=2β;
(3)若顺时针旋转,如图,过点D作DE⊥OA于E,过点C作CF⊥OA于F,
∵∠AOD=∠ABO=β,
∴tan∠AOD==
设DE=3x,OE=4x,
则AE=4x﹣3,
在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2
∴9=9x2+(4x﹣3)2
∴x=
∴D(),
∴直线AD的解析式为:y=x﹣
∵直线CD与直线AD垂直,且过点D,
∴设y=﹣x+b,把D()代入得,=﹣×+b,
解得b=4,
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1,
∴直线CD的解析式为y=﹣
同理可得直线CD的另一个解析式为y=x﹣4.




考点:相似三角形的判定与性质;待定系数法求一次函数解析式;勾股定理;旋转的性质.
点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点,本题关键在于结合图形找到相似三角形,求相关线段的长度和有关点的坐标.