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如图所示,在形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP=y,PE=x.

(1)当x=EF时,求SDPE:SDBC的值;
(2)当CQ=CE时,求y与x之间的函数关系式;
(3)①当CQ=CE时,求y与x之间的函数关系式;
②当CQ=CE(n为不小于2的常数)时,直接写出y与x之间的函数关系式.

答案(1)1:36     (2)y=6﹣x     (3)y=6(n﹣1)﹣x

解析试题分析:(1)∵E、F分别是AB、AC的中点,x=EF,
∴EF∥BC,且EF=BC,
∴△EDP∽△CDB,
=
∴SDPE:SDBC=1:36;
(2)如右图,设CQ=a,DE=b,BD=c,则DP=y﹣c;
不妨设EQ=kCQ=ka(k>0),则DQ=ka﹣b,CD=(k+1)a﹣b.
过Q点作QM⊥BC于点M,作QN⊥BP于点N,
∵BQ平分∠CBP,
∴QM=QN.

又∵
,即 ①
∵EP∥BC,∴,即 ②
∵EP∥BC,∴,即 ③
由①②③式联立解得:y=6k﹣x ④
当CQ=CE时,k=1,
故y与x之间的函数关系式为:y=6﹣x.
(3)当CQ=CE时,k=2,由(2)中④式可知,y与x之间的函数关系式为:y=12﹣x;
当CQ=CE(n为不小于2的常数)时,k=n﹣1,由(2)中④式可知,y与x之间的函数关系式为:y=6(n﹣1)﹣x.

考点:相似三角形的判定与性质;三角形的面积;角平分线的性质;三角形中位线定理.
点评:本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点,难度较大.在解题过程中,涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算,注意不要出错.本题第(2)(3)问,采用了从一般到特殊的解题思想,简化了解答过程;同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路,即当CQ=CE时,CQ=CE时分别探究y与x的函数关系式,然后推广到当CQ=CE(n为不小于2的常数)时的一般情况.