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已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置,点B,D重合,且点E、B(D)、C在同一条直线上.其中∠E=90°,∠EDF=30°,AB=DE=,现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移,直至E点与C点重合时停止运动,设运动时间为t秒.
(1)试求出在平移过程中,点F落在△ABC的边上时的t值;
(2)试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积s与t的函数关系式;
(3)当D与C重合时,点H为直线DF上一动点,现将△DBH绕点D顺时针旋转60°得到△ACK,则是否存在点H使得△BHK的面积为?若存在,试求出CH的值;若不存在,请说明理由.

答案(1)8或10       (2)s=(12﹣t)2        (3)见解析

解析试题分析:(1)当F在边AB上时,如图(1),作AM⊥BC,则AM=AB=×6=9,
∵AM⊥BC,∠FEB=90°
∴EF∥AM,
∴△BEF∽△BMA,
=,即=,解得:BE=2,则移动的距离是:6+2=8,则t==8;
当F在AC上时,如图(2)同理可得:EC=2,则移动的距离是:2×6﹣2=12﹣2=10,则t==10,
故t的值是:8或10;
(2)当0<t≤6时,重合部分是三角形,如图(3),设AB与BE交于点N,
则BD=t,
则NB=BD=t,ND=BD=×t=t,则s=NB•ND=×t=t2
当6<t<10时,如图(4),则CD=t﹣6
∵∠TCB=60°,∠D=30°
∴∠DTC=30°,
∴∠D=∠DTC,
∴TC=CD=t﹣6
则在直角△THC中,TH=TC=t﹣6)=t﹣9,
则s=18﹣CD•TH=18﹣t﹣6)(t﹣9)=﹣(t﹣6)2+18;
当10≤t<12时,重合部分如图(5),
EC=12t,
则直角△ECJ中,EJ=EC=(12t),
则s=EC•EJ=×(12t)2=(12﹣t)2
(3)当B,H,K在一条直线上时,CH=CK=BC•tan30°=6×=6,
设CH=x,作HL⊥BC于点L,则HL=x,
△CKH是边长是x的等边三角形,则面积是x2
△BCH的面积是:BC•HL=3×x=x,
△BCK的面积是:3x.
当0<CH<6时,△BHK的面积=△BCK的面积﹣△CKH的面积﹣△BCH的面积,即3x﹣x﹣x2=4,方程无解.
当CH>6时,△BHK的面积=△CKH的面积+△BCH的面积﹣△BCK的面积,即x2+