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如图,正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,DE=CF,AF与BE相交于O,DG⊥AF,垂足为G.
(1)求证:AF⊥BE;
(2)试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系;
(3)若GO:CF=4:5,试确定E点的位置.

答案(1)见解析   (2)BO=AG=AO+OG   (3)AE=AD

解析试题分析:(1)证明:∵ABCD为正方形,且DE=CF,
∴AE=DF,AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,
∴△ABE≌△DAF,
∴∠ABE=∠DAF,又∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠AEB=90°,
∴∠AOE=90°,即AF⊥BE;
(2)解:BO=AO+OG.
理由:由(1)的结论可知,
∠ABE=∠DAF,∠AOB=∠DGA=90°,AB=AD,
则△ABO≌△DAG,
所以,BO=AG=AO+OG;
(3)解:过E点作EH⊥DG,垂足为H,
由矩形的性质,得EH=OG,
∵DE=CF,GO:CF=4:5,∴EH:ED=4:5,
∵AF⊥BE,AF⊥DG,∴OE∥DG,
∴∠AEB=∠EDH,△ABE∽△HED,
∴AB:BE=EH:ED=4:5,
在Rt△ABE中,AE:AB=3:4,
故AE:AD=3:4,
即AE=AD.

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质.关键是利用正方形的性质证明全等三角形,相似三角形,利用线段,角的关系解题.