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已知:点P为正方形ABCD内部一点,且∠BPC=90°,过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F.
(1)如图1,当PC=PB时,则SPBE、SPCF SBPC之间的数量关系为 _________ 
(2)如图2,当PC=2PB时,求证:16SPBE+SPCF=4SBPG
(3)在(2)的条件下,Q为AD边上一点,且∠PQF=90°,连接BD,BD交QF于点N,若Sbpc=80,BE=6.求线段DN的长.

答案(1)SPBE+SPCF=SBPC;     (2)见解析    (3)DN=2或3

解析试题分析:(1)如图1所示:过点P作PI⊥BC于点I,
∵PB=PC,
∴PI∥BE∥CF,
∴PI是梯形BCFE的中位线,
∴PI=(BE+CF),
∵△PBC是等腰直角三角形,
∴PI=AB=CI,
∴SPBE+SPCF=BE•BI+CF•CI=BE×BC+CF•BC=BC(BE+CF)=BC•PI=SPBC
故答案为:SPBE+SPCF=SBPC
(2)如图2,过点P作PG⊥EF交BC于点G,∠EPG=90°,
∵∠BPC=90°,
∴∠EPB+∠BPG=90°,
∵∠BPG+∠CPG=90°,
∴∠EPB=∠CPG,
同理,∵∠EBP+∠PBC=90°,∠PBC+∠BCP=90°,
∴∠EBP=∠BCP,
∴△EPB∽△GPC,
∵PC=2PB,
=(2=
∴SGPC=4SEPB
同理可得SFPC=4SGPB
∵SPBG+SPGC=SBPC
∴16SPBE+SPFC=4SBPC
(3)如图3,设正方形的边长为a(a>0),
∵∠BPC=90°,PC=2PB,SBPC=80,
=80,解得a=20,
由(2)知,△EPB∽△GPC,
∴CG=2BE=12,
∴BG=8,
∴CF=16,DF=4,
过点P作PM∥AB交BC于点M.交AD于点H,过点P作PT⊥CD于T,
∵PM⊥BC,BC=20,SBPC=80,
∴PM=8,
∴PH=12,PT=16,FT=8,
∵∠PQF=90°,
∴由勾股定理得,(HQ2+HP2)+(DQ2+DF2)=PT2+TF2,即(16﹣DQ)2+122+(DQ2+42)=162+82,解得DQ=4或DQ=12,
当DQ=4时,
∵DQ=DF=4,∠PQF=90°,DN为∠QDF的角平分线,
∴DN=QD=2
当DQ=12时,过点N作NN1⊥QD于N1
∵∠QOF=90°,DN为∠QDF的角平分线,
∴∠QDN=45°,
∵NN1⊥AD,
∴NN1=N1D,△QDF∽△QN1N,
==,解得NN1=3,
∴DN===3
综上所述,DN=2或3

考点:相似形综合题;勾股定理;正方形的性质;相似三角形的判定与性质.
点评:本题考查的是相似形的综合题,涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理,解答此题的关键是作出辅助线,构造出相似三角形,再利用相似三角形的性质进行解答.