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已知:如图,四边形ABCD是正方形,BD是对角线,BE平分∠DBC交DC于E点,交DF于M,F是BC延长线上一点,且CE=CF.
(1)求证:BM⊥DF;
(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME•MB.

答案(1)见解析    (2)4﹣2

解析试题分析:(1)证明:在△BCE和△DCF中,

∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴∠EBC=∠FDC(全等三角形的对应边相等),即∠EBC=∠EDM,
在△BCE和△DME中,

∴△BCE∽△DME,
∴∠BCE=∠DME=90°(相似三角形的对应角相等),即BM⊥DF;
(2)解:∵BC=2,
∴BD=2
又∵BE平分∠DBC交DF于M,BM⊥DF,
∴BD=BF(等腰三角形“三合一”的性质),DM=FM,
∴CF=2﹣2.
在△BMF和△DME中,
∠MBF=∠MDE,∠BMF=∠DME=90°,
∴△BMF∽△DME,
=
=,即ME•MB=MD2
∵DC2+FC2=(2DM)2,即22+(2﹣2)2=4DM2
∴DM2=4﹣2,即ME•MB=4﹣2

考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;正方形的性质.
点评:本题综合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有关知识.等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决.