欢迎来到21世纪教育网题库中心! 21世纪教育在线题库首页
21世纪教育网——题库

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB= _________ ,PD= _________ 
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长.

答案(1)8﹣2t,t     (2)不存在   当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形        (3)2

解析试题分析:(1)根据题意得:CQ=2t,PA=t,
∴QB=8﹣2t,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,PD∥BC,
∴∠APD=90°,
∴tanA==
∴PD=t.
故答案为:(1)8﹣2t,t.
(2)不存在
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=10
∵PD∥BC,
∴△APD∽△ACB,
,即
∴AD=t,
∴BD=AB﹣AD=10﹣t,
∵BQ∥DP,
∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形,
即8﹣2t=,解得:t=
当t=时,PD==,BD=10﹣×=6,
∴DP≠BD,
∴▱PDBQ不能为菱形.
设点Q的速度为每秒v个单位长度,
则BQ=8﹣vt,PD=t,BD=10﹣t,
要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ,
当PD=BD时,即t=10﹣t,解得:t=
当PD=BQ,t=时,即=8﹣,解得:v=
当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形.
(3)如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).
设直线M1M2的解析式为y=kx+b,

解得
∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6.
∵点Q(0,2t),P(6﹣t,0)
∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标(,t).
把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t,
∴点M3在直线M1M2上.
过点M2做M2N⊥x轴于点N,则M2N=4,M1N=2.
∴M1M2=2
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度.

考点:相似三角形的判定与性质;一次函数综合题;勾股定理;菱形的判定与性质.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.