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如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P´(点P´不在y轴上),连接PP´,P´A,P´C.设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时,
①求直线AB的解析式;
②若点P′的坐标是(﹣1,m),求m的值;
(2)若点P在第一象限,记直线AB与P´C的交点为D.当P´D:DC=1:3时,求a的值;
(3)是否同时存在a,b,使△P´CA为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a,b的值;若不存在,请说明理由.

答案(1)①y=x+3   ②       (2)a=       (3)分情况讨论,具体过程见解析

解析试题分析:(1)①设直线AB的解析式为y=kx+3,
把x=﹣4,y=0代入得:﹣4k+3=0,
∴k=
∴直线的解析式是:y=x+3,
②由已知得点P的坐标是(1,m),
∴m=×1+3=
(2)∵PP′∥AC,
△PP′D∽△ACD,
=,即=
∴a=
(3)以下分三种情况讨论.
①当点P在第一象限时,
1)若∠AP′C=90°,P′A=P′C(如图1)
过点P′作P′H⊥x轴于点H.
∴PP′=CH=AH=P′H=AC.
∴2a=(a+4)
∴a=
∵P′H=PC=AC,△ACP∽△AOB
==,即=
∴b=2
2)若∠P′AC=90°,(如图2),则四边形P′ACP是矩形,则PP′=AC.
若△P´CA为等腰直角三角形,则:P′A=CA,
∴2a=a+4
∴a=4
∵P′A=PC=AC,△ACP∽△AOB
==1,即=1
∴b=4
3)若∠P′CA=90°,
则点P′,P都在第一象限内,这与条件矛盾.
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形.
②当点P在第二象限时,∠P′CA为钝角(如图3),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形;
③当P在第三象限时,∠P′AC为钝角(如图4),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形.
所有满足条件的a,b的值为:




考点:相似三角形的判定与性质;待定系数法求一次函数解析式;等腰直角三角形.
点评:本题主要考查了梯形的性质,相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用,要注意的是(3)中,要根据P点的不同位置进行分类求解.