欢迎来到21世纪教育网题库中心! 21世纪教育在线题库首页
21世纪教育网——题库

如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.
①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.

答案(1)2      (2)①等边三角形    ②

解析试题分析:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴△AOB为直角三角形,且OA=AC=1,OB=BD=
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
AB===2.
(2)①△AEF是等边三角形.理由如下:
∵由(1)知,菱形边长为2,AC=2,
∴△ABC与△ACD均为等边三角形,
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE与△ACF中,

∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形,
又∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形.
②BC=2,E为四等分点,且BE>CE,
∴CE=,BE=
由①知△ABE≌△ACF,
∴CF=BE=
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形内角和定理),
∠AEG=∠FCG=60°(等边三角形内角),
∠EGA=∠CGF(对顶角)
∴∠EAC=∠GFC.
在△CAE与△CFG中,

∴△CAE∽△CFG(AA),
,即
解得:CG=
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的性质.
点评:本题是几何综合题,综合考查了相似三角形、全等三角形、四边形(菱形)、三角形(等边三角形和等腰三角形)、勾股定理等重要知识点.虽然涉及考点众多,但本题着重考查基础知识,难度不大,需要同学们深刻理解教材上的基础知识,并能够熟练应用.