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已知:点C、A、D在同一条直线上,∠ABC=∠ADE=α,线段BD、CE交于点M.
(1)如图1,若AB=AC,AD=AE

①问线段BD与CE有怎样的数量关系?并说明理由;
②求∠BMC的大小(用α表示);
(2)如图2,若AB=BC=kAC,AD=ED=kAE,则线段BD与CE的数量关系为_________,∠BMC=_________(用α表示);

(3)在(2)的条件下,把△ABC绕点A逆时针旋转180°,在备用图中作出旋转后的图形(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),连接EC并延长交BD于点M.则∠BMC=_________(用α表示).

答案(1)①BD=CE   ②180°﹣2α    (2)BD=kCE,90°﹣α     (3)90°+α

解析试题分析:(1)如图1.
①BD=CE,理由如下:
∵AD=AE,∠ADE=α,
∴∠AED=∠ADE=α,
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α,
同理可得:∠BAC=180°﹣2α,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即:∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠BDA=∠CEA,
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α;
(2)如图2.
∵AD=ED,∠ADE=α,
∴∠DAE==90°﹣α,
同理可得:∠BAC=90°﹣α,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即:∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC,AD=kAE,
∴AB:AC=AD:AE=k.
在△ABD与△ACE中,
∵AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴△ABD∽△ACE,
∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴BD=kCE;
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣α.
故答案为:BD=kCE,90°﹣α;
(3)如图.

∵AD=ED,∠ADE=α,
∴∠DAE=∠AED==90°﹣α,
同理可得:∠BAC=90°﹣α,
∴∠DAE=∠BAC,即∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC,AD=kAE,
∴AB:AC=AD:AE=k.
在△ABD与△ACE中,
∵AB:AC=AD:AE=k,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE,
∴∠BDA=∠CEA,
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α,
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣α+α=90°+α.
故答案为:90°+α.
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;作图-旋转变换.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的外角的性质,相似三角形的判定与性质,作图﹣旋转变换,综合性较强,有一定难度.由于全等是相似的特殊情况,所以做第二问可以借助第一问的思路及方法,做第三问又可以遵照第二问的做法,本题三问由浅入深,层层递进,做好第一问是关键.