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如图所示,MN是圆O中一条固定的弦,劣弧MN的度数为1200,点C是圆O上一个动点(不与M、N重合)。连接MC、NC,D、E分别是NC和MC的中点,直线DE交圆O于点A、B。已知圆O的半径为,那么在点C的运动过程中AE+BD的最小值为                     

答案

解析试题解析:解:如下图所示,
∵点D、E分别是NC、MC的中点,
∴点C在劣弧MN的中点时,AB的长度最小,
此时DE=MN,连接OA、OM,连接OC与MN、AB分别交于点F、G,
∵劣弧MN的度数是120°,
∴∠OMN=(180°-120°)=30°,
∵⊙的半径是
∴OF=OM=,MF=×
∵D、E分别是NC、MC的中点,
∴FG=(OC-OF)=
∴OG=OF+FG=
在Rt△AOG中,AG=
∴AE+BD=2AG-DE=2×.

考点:三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系
点评:本题主要考查了三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系,解决本题的关键是判断出当点C在劣弧MN的中点时AE+BD的值最小.