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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,6).动点Q从点O、动点P从点A同时出发,分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t(秒)(0<t≤5).以P为圆心,PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D,连结CD、QC.

(1)求当t为何值时,点Q与点D重合?
(2)设△QCD的面积为S,试求S与t之间的函数关系,并求S的最大值?
(3)若⊙P与线段QC只有一个交点,请直接写出t的取值范围.

答案(1) 
(2)
S的最大值为15。
(3)

解析分析:(1)根据点A、B的坐标求出OA、OB,利用勾股定理列式求出AB,根据点Q的速度表示出OQ,然后求出AQ,再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°,再利用∠BAO的余弦表示出AD,然后列出方程求解即可。
解:∵A(8,0),B(0,6),∴OA=8,OB=6。

∵点Q的速度是1个单位长度/秒,∴OQ=t。∴AQ=OA-OQ=8-t。
∵⊙P的直径为AC,∴∠ADC=90°。
,即,解得
当点Q与点D重合时,AD=AQ,
,解得
∴当时,点Q与点D重合。
(2)利用∠BAO的正弦表示出CD的长,然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD,再利用三角形的面积公式列式整理,然后根据二次函数的最值问题解答。
解:,即,解得
①点Q、D重合前,即时,
∴△QCD的面积为

∴当t=时,S有最大值为
②点Q、D重合后,即时,
∴△QCD的面积为
,∴当时,S随t的增大而增大。
∴当t=5时,S有最大值为:
综上所述,S与t的函数关系式为
∵15>,∴S的最大值为15。
(3)①点Q、D重合前,即时,CQ与⊙P相切时t的值最大,此时,CQ⊥AB,AQ=8-t,
∵∠BAO=∠QAC,∠AOB=∠ACQ=90°,∴△ACQ∽△AOB。
,即,解得t=
∴⊙P与线段QC只有一个交点,t的取值范围为
②点Q、D重合后,即时,⊙P与线段QC只有一个交点。