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  • 如图,已知是△的角平分线,上的一点,且

    (1)求证:△∽△
    (2)求证:△∽△
    (3)求的长.

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  • 如图,在平行四边形中,点的中点,相交于点,那么等于       

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  • 如图,△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD=∠ABC,若AC=2,AD=1,则DB=          

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  • 如图,在Rt△ABC中,AB=AC=4.一动点P从点B出发,沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点C即停止.在整个运动过程中,过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D,延长PD至点Q,使得PD=QD,以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE.设运动时间为t秒(t>0).

    (1)在整个运动过程中,设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围;
    (2)当点D在线段AB上时,连接AQ、AP,是否存在这样的t,使得△APQ成为等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由;
    (3)当t=4秒时,以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF,将四边形PEQF绕点P旋转,PE与线段AB相交于点M,PF与线段AC相交于点N.试判断在这一旋转过程中,四边形PMAN的面积是否发生变化?若发生变化,求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围;若不发生变化,求出此定值.

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  • 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).

    (1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
    (2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.

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  • 如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t(单位:s).

    (1)当t=          s时,四边形EBFB′为正方形;
    (2)若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;
    (3)是否存在实数t,使得点B′与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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  • 如图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.

    (1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,则S1      S2+S3(用“>”、“=”、“<”填空);
    (2)写出如图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.

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  • 如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,E是边AB上一点(不与A、B重合),F是边BC上一点(不与B、C重合).若△DEF和△BEF是相似三角形,则CF=       

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  • 如图,在□ABCD中,AB=4,AD=6,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=

    (1)求AE的长;  (2)求ΔCEF的周长和面积.

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  • 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B坐标分别为(4,2)、(0,2),线段CD在于x轴上,CD=,点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移,点D随着点C同时同速同方向运动,过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G,连结CE交OA于点F.设运动时间为t,当E点到达A点时,停止所有运动.

    (1)求线段CE的长;
    (2)记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积,试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围;
    (3)连结DF,
    ①当t取何值时,有?
    ②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.

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